변동성 대 기댓값: 반복된 결정이 그렇지 않음에도 무작위처럼 느껴지는 이유
왜 좋은 결정이 단기적으로는 나빠 보이는가
반복적인 의사결정 시스템에서는 두 가지 힘이 항상 동시에 작용합니다. 기댓값은 동일한 조건에서 동일한 선택이 반복될 때 시스템이 만들어내는 장기적인 평균입니다. 변동성은 단기적인 무질서함으로, 개별적인 사건이 아님에도 마치 개인적인 일처럼 느껴지게 만드는 연속적인 흐름이나 변동, 기괴한 시퀀스로 나타납니다. 기댓값은 수많은 시행에 대한 평균이지 다음 결과에 대한 약속이 아닙니다. 이것이 바로 어떤 결정이 옳으면서도 오늘 손실을 볼 수 있는 이유입니다. 확률 입문 과정에서는 이를 명확히 설명합니다. 이와 관련된 통계적 오해는 왜 단기 결과가 장기 성과를 예측하지 못하는지와도 연결됩니다.
대부분의 사람들은 기댓값을 숫자로, 변동성을 공식으로 배운 뒤 개념 이해가 끝났다고 가정합니다. 하지만 오해는 행동에서 비롯됩니다. 인간은 장기적인 관점을 경험하지 못합니다. 그들은 마지막 10번의 결과, 지난 한 시간, 가장 최근의 변동, 그리고 그에 대해 스스로 들려줄 수 있는 이야기를 경험합니다. 변동성은 안정적인 장기적 경향을 단기적인 감정의 롤러코스터로 바꾸어 놓으며, 수학과 경험 사이의 이 간극에서 자신감과 혼란이 자라나게 됩니다.
기댓값이 실제로 말해주는 것과 그렇지 않은 것
기댓값은 반복된 선택의 방향성을 나타내는 속성입니다. 동일한 설정을 독립적으로 계속해서 반복할 수 있다면, 평균 결과는 기댓값을 향해 수렴합니다. 이것이 대수의 법칙이 말하는 핵심입니다 — 충분한 시행이 있을 때 표본 평균은 진정한 평균을 향해 움직입니다.
하지만 이 주장이 말하지 않는 것에 주목해야 합니다. 초기 결과가 안정적일 것이라고 말하지 않습니다. 다음 결과가 기댓값과 일치할 것이라고 말하지 않습니다. 연속된 결과들이 빠르게 균형을 이룰 것이라고도 말하지 않습니다. 시퀀스 내부에서 살아가는 동안 기댓값을 체감할 수 있을 것이라고도 말하지 않습니다. 대수의 법칙은 평균에 관한 것이지 편안함에 관한 것이 아니며, 소표본이 얌전하게 작동한다는 규칙은 더더욱 아닙니다.
이것이 기댓값이 예측 엔진으로 오용되는 이유입니다. 사람들은 기댓값을 보고 이를 단기 예측치처럼 취급합니다. 그러다 시스템이 마음대로 작동하지 않으면 분노합니다. 하지만 기댓값은 다음에 무슨 일이 일어날지 알려주기 위해 존재하는 것이 아닙니다. 그것은 과정이 충분히 반복되었을 때 평균이 어디로 흘러가는지를 설명하기 위해 존재합니다.
왜 반복 시스템에서 변동성이 직관을 압도하는가
변동성은 기댓값 주변의 퍼짐 정도입니다. 공식적으로는 평균으로부터의 거리의 제곱에 대한 기댓값으로 분산을 측정하며, 표준편차는 그 분산의 제곱근입니다. 이러한 정의도 중요하지만, 실제 행동에서 더 중요한 것은 변동성이 서사에 미치는 영향입니다.
변동성은 연승이나 연패를 만듭니다. 군집을 만듭니다. 시퀀스가 마땅히 일어나야 한다고 생각하는 것보다 너무 좋아 보이거나 너무 나빠 보이는 긴 구간을 만들어냅니다. 인간은 패턴 탐지기이기 때문에 이러한 구간을 증거로 해석합니다. 연속된 승리는 실력이 됩니다. 하락장은 개인의 실패가 됩니다. 갑작스러운 반전은 음모가 됩니다. 뇌는 이유 없는 움직임을 싫어하기 때문에 변동성은 무작위성을 의미로 바꾸어 버립니다.
또한 변동성은 구조를 숨깁니다. 어떤 과정이 명확한 장기적 경향을 가지고 있으면서도 단기적으로는 혼란스러운 시퀀스를 만들어낼 수 있습니다. 이 지점이 사람들의 사고 모델을 무너뜨립니다. 그들은 좋은 선택이 일관되게 좋게 느껴지기를 기대합니다. 대신 좋은 선택이 한동안 나빠 보일 수 있고, 나쁜 선택이 한동안 좋아 보일 수 있습니다. 변동성이 이를 가능하게 합니다.
왜 소표본이 잘못된 자신감과 공포를 만드는가
소표본은 생생하기 때문에 자신감의 함정이 됩니다. 뇌는 최근의 것, 빈번한 것, 감정이 실린 것에 우선순위를 둡니다. 짧게 이어진 결과들은 단지 노이즈 섞인 단면일 뿐임에도 진실이 됩니다.
통계적으로 소표본은 기저 평균에 대한 불안정한 추정치입니다. 표본으로 평균을 추정할 수는 있지만, 표본 크기인 n이 작을 때 그 추정치의 불확실성은 매우 크며 표본이 커짐에 따라 줄어듭니다. 쉽게 말해, 초기 결과는 단순히 불완전한 것이 아니라 적극적으로 오해를 불러일으킵니다. 취약한 정보임에도 불구하고 결론적인 것처럼 느껴지기 때문입니다.
여기서 사람들은 수렴과 모양이라는 두 가지 아이디어를 혼동합니다. 대수의 법칙은 시행이 증가함에 따라 평균이 수렴한다고 말하며, 중심 극한 정리와 같은 개념은 이러한 표본 평균들의 분포를 설명합니다. 둘 다 장기적인 진술입니다. 어느 것도 단기적인 감정적 안도감을 주지 않습니다. 단기적인 깔끔함을 기대하는 사람은 정상적인 변동성을 무언가 변했다는 신호로 잘못 읽게 됩니다.
분포의 모양이 변동성의 체감을 어떻게 바꾸는가
변동성은 단순히 상황이 얼마나 움직이느냐의 문제가 아닙니다. 그것은 결과의 분포에 달려 있습니다. 두 시스템이 동일한 기댓값을 가졌더라도 분포가 다르면 완전히 다르게 느껴질 수 있습니다.
흔한 차이 중 하나는 수많은 작은 승리와 이따금 발생하는 큰 손실 대 수많은 작은 손실과 이따금 발생하는 큰 승리의 대조입니다. 둘 다 같은 평균을 갖도록 조정될 수 있지만, 상반된 감정적 경험을 만들어냅니다. 또 다른 차이는 꼬리 위험입니다. 여기서는 드물게 발생하는 극단적인 결과가 변동성을 지배합니다. 서류상 평균은 평온해 보일 수 있지만, 꼬리 사건이 닥쳤을 때 기억을 압도하고 자신감을 초기화하기 때문에 실제 경험하는 시퀀스는 격렬하게 느껴집니다.
여기서 사람들은 미묘한 실수를 저지릅니다. 기댓값을 헤드라인으로, 변동성을 각주처럼 취급하는 것입니다. 실제 경험에서 헤드라인은 변동성입니다. 분포가 줄거리입니다. 기댓값은 오랜 시간이 흐른 뒤에야 선명하게 보이는 결말일 뿐입니다.